1. Erreurs commises lors d’un mesurage
1.1. L’inaccessible valeur vraie
Il est impossible de prétendre qu’un mesurage conduit à la connaissance de la vraie valeur d’une grandeur. En effet, pour effectuer un mesurage, l’opérateur fait appel à une méthode qui nécessite l’usage d’un appareil. Chacun de ces trois éléments est à l’origine d’une ou plusieurs erreurs. Ces erreurs ne sont pas toutes connues. On ne peut donc accéder à la valeur vraie Xv et on doit se contenter d’une valeur approchée X0.
1.2. Erreur absolue
L’erreur absolue δX est la différence qui existe entre la valeur approchée X0 attribuée à une grandeur et la vraie valeur Xv. Il s’agit d’un nombre algébrique exprimé avec la même unité que la grandeur mesurée.
1.3. Erreur relative
L’erreur relative est le quotient de l’erreur absolue par la vraie valeur de la grandeur mesurée. Il s’agit d’un nombre algébrique sans dimension.
2. Inventaire des erreurs
2.1. Erreurs systématiques
Les erreurs systématiques sont celles qui se produisent toujours de la même façon, soit par excès, soit par défaut. Ces erreurs sont généralement connues et il est possible de les éliminer pendant le mesurage ou après.
2.1.1. Erreurs systématiques dues à l’opérateur
Elles résultent soit d’une mauvaise vue, soit de mauvaises conditions de lecture. Par exemple, dans le cas d’appareils à aiguille, pour éviter les erreurs dites de parallaxe, la lecture doit se faire en se plaçant de façon que l’aiguille masque totalement son image dans le miroir.
2.1.2. Erreurs systématiques dues à l’appareil de mesure
Elles résultent d’un mauvais étalonnage ou d’une mauvaise graduation. Par exemple, si un ampèremètre est mal gradué et que chaque division donnée pour 1 A, corresponde en réalité à 0,9 A, toutes les lectures effectuées avec cet appareil seront systématiquement trop grandes. Ce genre d’erreur s’élimine facilement par un bon étalonnage.
2.1.3. Erreurs systématiques dues à la méthode
Par exemple, dans la mesure d’une résistance par la méthode voltampèremétrique, montage amont, la valeur obtenue par le quotient u/i est en réalité la somme de la résistance inconnue et de la résistance ra de l’ampèremètre. Ce genre d’erreur ne peut être évité au cours du mesurage mais il sera facile de corriger le résultat obtenu en retranchant de celui-ci la valeur ra.
2.2. Erreurs aléatoires
Les erreurs aléatoires sont des erreurs imprévisibles. On ignore leur valeur et on ne peut avoir sur elles que des informations approximatives.
2.2.1. Erreurs aléatoires dues à l’opérateur
Dans le cas d’un appareil à affichage numérique, s’il y a clignotement des chiffres affichés, la lecture n’est pas donnée avec certitude. L’erreur induite est aléatoire. En revanche, s’il n’y a pas de clignotement, l’erreur aléatoire due à l’opérateur est nulle.
Dans le cas d’un appareil à aiguille, quel que soit le soin apporté à la lecture, la position exacte de l’aiguille ne peut jamais être déterminée avec certitude.
2.2.2. Erreurs aléatoires dues aux appareils de mesure
Un appareil de mesure n’est pas parfait et nécessite d’être étalonné périodiquement. Un exemple propre aux appareils à aiguilles est le frottement qui s’oppose à la rotation de l’équipage mobile.
2.2.3. Erreurs aléatoires dues aux composants étalons
La valeur indiquée sur un composant électronique étalon (résistor, condensateur,…) est probablement différente de la vraie valeur. L’usage de cet étalon produit une erreur constante à chaque fois. Mais, comme on ne connait la valeur de cette erreur, elle est considérée comme une erreur aléatoire.
2.2.4. Erreurs aléatoires dues à la grandeur mesurée
La grandeur à mesurer peut n’être pas parfaitement définie. Par exemple, la résistance d’un résistor varie avec la température. De même, la capacité d’un condensateur varie en fonction l’humidité. Il est donc nécessaire de noter le maximum d’informations sur les conditions dans lesquelles la mesure a été faite. Un autre exemple concerne les grandeurs actives (tension, intensité, puissance,…) qui peuvent être fluctuantes. Ce dernier inconvénient impose une lecture simultanée des différents appareils sur un circuit.
2.2.5. Erreurs aléatoires dues à la méthode et au montage
Elles peuvent avoir de nombreuses causes :
mauvais contacts, mauvaise disposition du matériel, influence magnétique
extérieure, etc. Il est possible d’y
remédier en grande partie en soignant le montage.
3. Les incertitudes de mesure
3.1. Signification de l’incertitude
Les erreurs systématiques étant supposées éliminées, seules les erreurs aléatoires subsistent. Ces erreurs sont inconnues et on doit essayer, pour chaque mesure, de les estimer. Le résultat de l’opération étant incertain, l’erreur totale possible est nommée incertitude.
→ L’incertitude est une estimation du maximum de l’erreur aléatoire totale qui a pu être commise sur une mesure.
3.2. Intervalle et niveau de confiance
La valeur attribuée à l’incertitude est arbitraire. Cependant, connaissant toutes les informations concernant un mesurage, on peut estimer que la vraie valeur Xv du mesurande a H chances sur cent d’être située dans un éventail de valeurs encadrant la mesure.
L’éventail de valeurs s’appelle intervalle de confiance (ou intervalle élargi)
H % représente le niveau de confiance (ou probabilité de couverture)
3.3. Incertitude absolue
C’est l’écart ΔX, probable, entre la valeur approchée et la vraie valeur. Il s’agit d’un nombre positif exprimé avec la même unité que la grandeur mesurée.
3.4. Incertitude relative
C’est le quotient de l’incertitude absolue par la valeur approchée.
L’incertitude relative permet d’apprécier la
précision d’une valeur. Deux valeurs avec la même incertitude absolue peuvent
présenter des degrés de précision différents.
4. Évaluation des incertitudes
4.1. Incertitude due à la lecture d’un appareil par l’opérateur
-
Appareil à affichage numérique : Sans
clignotement, la lecture est parfaitement déterminée et il n’y a pas d’erreur
aléatoire ; l’incertitude est nulle. S’il y a clignotement, on peut
admettre que l’incertitude est une unité du dernier chiffre affiché.
-
Appareil à aiguille : Comme le partage
visuel d’une division en plusieurs parties n’est pas si facile, on peut
admettre que l’incertitude est de 0.5 div. Chaque opérateur est libre de
retenir un autre choix en fonction des conditions de la lecture.
4.2. Incertitude due à un appareil à aiguille
Pour ce type d’appareil, l’incertitude absolue est définie par la classe ; la classe d’un appareil à aiguille est précisée par le fabricant.
Définition : la classe est un nombre qui
donne en pour cent de la déviation maximale, l’incertitude absolue
correspondant à une lecture quelconque.
Exemple : un appareil à aiguille de classe C = 1.5 et possédant D = 150 divisions.
L’incertitude absolue sur une lecture quelconque est :
Niveau de confiance d’un appareil à aiguille :
- Pour des appareils neufs ou qui ont été réparés soigneusement et réétalonnés, on peut attribuer à l’incertitude donnée par la classe un niveau de confiance élevé : 99% par exemple. Cela veut dire, que sur cent appareils en très bon état, un seul risque de donner une indication ne se trouvant pas dans l’intervalle de confiance fixé par la classe.
- pour un appareil ancien, ou qui a été utilisé de manière excessive, un étalonnage avec un appareil étalon est nécessaire pour fixer un nouvel intervalle et niveau de confiance.
4.3. Incertitude due à un appareil numérique
Pour les appareils numériques, les constructeurs donnent une indication sur le calcul de l’incertitude. Cette indication est de la forme suivante :
avec : p% représente un pourcentage de la lecture X ;
1 digit correspond à 1 unité du dernier
chiffre affiché.
Exemple : un multimètre affiche la
valeur 1,345 sur le calibre 2V ; le constructeur indique : ±0,5%
valeur lue + 2 digits
→ l’incertitude absolue est :
4.4. Incertitude due à un composant étalon
Elle est donnée
directement en pourcentage de la valeur.
Exemple :
R = 100 Ω à 0,2% (soit ΔR = 0,2 Ω)
4.5. Incertitude absolue totale
L’incertitude
absolue totale est égale à la somme des incertitudes produites par l’opérateur,
l’instrument ou la méthode.
4.6. Propagation des incertitudes
Lorsqu’une
grandeur est déterminée par un calcul faisant intervenir plusieurs grandeurs
mesurées dont les erreurs sont indépendantes, alors on peut déterminer
l’incertitude sur cette grandeur avec la
méthode suivante. On prend l’exemple d’une grandeur f qui dépend de 3
paramètres x, y et z.
1- On exprime la différentielle df de la fonction f :
2- On calcule
l’incertitude Δf avec la formule suivante :
Cas particuliers :
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5. Présentation d’un résultat de mesure et chiffres significatifs
5.1. Concept de chiffres significatifs
Les chiffres significatifs concernent le nombre et la position des chiffres qu’on utilise pour représenter un nombre. Les règles à respecter sont les suivantes :
-
Les zéros
placés à gauche du premier chiffre différent de zéro ne sont pas
significatifs ; exemple : 0,05300100
- Les zéros placés à droite sont significatifs s’ils sont placés après la virgule ; exemple : 0,05300100
- Les zéros à droite qui précèdent la virgule peuvent être ou ne pas être significatifs ; exemple : 300 pourrait comporter de 1 à 3 chiffres significatifs ; la notation scientifique permet d’éviter l’ambiguïté : ainsi 3,00×102 comporte 3 chiffres significatifs, et s’il n’y a qu’un seul, on écrira 3×102.
Remarque : en électricité, on garde en général entre 2 et 4 chiffres significatifs.
5.2. Opérations arithmétiques liées aux chiffres significatifs
Le nombre de décimales et/ou de chiffres significatifs des données d’un calcul a une influence sur les chiffres significatifs que l’on conserve dans le résultat.
Addition et soustraction : Le résultat a autant de décimales (même précision) que la
mesure qui est la moins précise. On arrondit le dernier chiffre conservé en
fonction du suivant.
Exemple : 2,7 + 14,45 = 17,15 = 17,2
On garde une seule décimale car « 2,7 » n’en possède qu’une.
Multiplication et division : Le résultat a autant de chiffres significatifs que la mesure qui en comporte le moins. On arrondit le dernier chiffre conservé en fonction du suivant.
Exemple : 2,7 × 14,45
= 39,015 = 39
On garde seulement 2 chiffres significatifs car « 2,7 » n’en possède que deux.
5.3. Incertitude absolue et chiffres significatifs
L’incertitude absolue doit généralement être exprimée avec un seul chiffre significatif. Le chiffre conservé est souvent arrondi à la hausse. Exceptionnellement, Elle peut être donnée avec deux chiffres significatifs lorsque l’arrondissement introduit une surestimation de plus de 10%. On utilisera cette méthode dans la suite.
Présentation du résultat : le résultat peut être exprimée sous la forme :
La valeur de la mesure est exprimée avec la même précision que l’incertitude absolue.
Exemple : (3,22 ± 0,2) A → (3,2 ± 0,2) A
5.4. Incertitude relative et chiffres significatifs
L’incertitude relative est exprimée avec deux chiffres significatifs (arrondis normalement).
Présentation du résultat : le résultat peut être exprimée sous la forme :
Les unités de l’incertitude relative et de la mesure ne sont pas les mêmes. Il n’y a donc pas de lien entre le nombre de chiffres significatifs que l’on garde de part et d’autre.
Exemple : (25 ± 3) W → 25 W ± 12%
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